Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

1.  Cara menentukan turunan

• Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jikaf(x) = 3x³ + 7x². Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang berbentuk  y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa menggunkan konsep fungsi limit?

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, makay’ = u’ ± v’. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka

f(x) = 3x³ + 7x²

f′(x)  = 9x² + 14x

Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini

Contoh Soal 1

Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x² + 7x

Penyelesaian:

f(x) = 3x² + 7x

Misal: u = 3x² → u’ = 3⋅2⋅x^{2 – 1} = 6x¹ = 6x

v = 7x → v’ = 7⋅1⋅x^{1 – 1} = 7x⁰ = 7⋅1 = 7

Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u’ + v’ = 6x + 7

Contoh Soal 2

Carilah f ′(x) jika f(x) = –x³ – 8x²

Penyelesaian:

f(x) = –x³ – 8x²

Misal:

u = –x³ → u’ = –3x^{3 – 1} = –3x²

v = 8x² → v’ = 8 ⋅ 2⋅ x^{2 – 1} = 16 x¹ = 16x

Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u’ – v’ = –3x² – 16x

• Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′  jika y = (x²+3x)(5x + 3). Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅v'(x). Jadi jika y = u⋅ v, maka y’ = u’ v + u v’.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Carilah y′  jika y = x(5x + 3)

Penyelesaian:

Cara 1:

y = x (5x + 3)

y = 5x² + 3x

y’ = 5 ⋅ 2x^{2 – 1} + 3 ⋅1 x^{1 – 1}

y’ = 10x¹ + 3 ⋅ x⁰

y’ = 10x + 3 ⋅ 1

y’ = 10x + 3

Cara 2:

y = x(5x + 3)

misal:

u = x → u’ = 1

v = 5x + 3 → v’ = 5 + 0 = 5

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y’ = u’ v + u v’

y’ = 1 (5x + 3) + x (5)

y’ = 5x + 3 + 5x

y’ = 10x + 3

Contoh soal 2

Carilah y ′  jika y = 3(2x + 1) x²

Penyelesaian:

Cara 1:

y = 3(2x + 1) x²

y = 6x³ + 3x²

y’ = 6 ⋅ 3x^{3 – 1} + 3 ⋅2 x^{2 – 1}

y’ = 18x² + 6x

Cara 2:

y = 3(2x + 1) x²

y = (2x + 1) 3x²

misal:

u = 2x + 1 → u’ = 2

v = 3x² → v’ = 6x

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y’ = u’ v + u v’

y’ = 2 ⋅ 3x² + (2x + 1) 6x

y’ = 6x² + 12x² + 6x

y’ = 18x² + 6x

• Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′  jika y = (x²+3x)/(5x + 3). Apakah caranya

sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) – u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)². Jadi jika y = u/v, makay’ = (u’v + uv’)/v².

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4×-3)

Penyelesaian:

y = (3x+1)/(4×-3)

misal:

u = 3x – 2 → u’ = 3

v = 5x + 6 → v’ = 5

Jika y = uv, maka

y’ = (u′ v – uv′)/v²

y’ = (3(5x+ 6) – (3x – 2)5)/(5x+6)²

y’ = ((15x+ 18) – (15x – 10))/(5x+6)²

y’ = 28/(5x+6)²

• Turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ

Misalnya: Carilah y ′  jika y = (x²+3x)¹². Bagaiman cara mencari turunan fungsi seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)ⁿ, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)^n-1⋅ Jadi jika y = uⁿ, maka y’ = n.u’.u^n-1

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x²)⁵

Penyelesaian:

y = (2 + 5x²)⁵

misal :

u = 2 + 5x² → u’ = 10x

Jika y = uⁿ, maka

y’ = n. u’.u^{n – 1}

= 5. 10x (2 + 5x²)^{5 – 1} ⋅

= 50x(2 + 5x²)⁴

2. Aturan (jenis-jenis) turuan fungsi

1. Aturan fungsi konstan

f(x) = k dengan k  konstanta è f'(x) = 0

1. Aturan fungsi indentitas

f(x) = x è f'(x)=1

1. Aturan fungsi pangkat

f(x) = è f'(x) =

1. Aturan kelipatan konstanta

h(x) = kf (x) èh'(x) = kf'(x)

1. Aturan penjumlahan dan pengurangan

h(x) = f(x) ± g(x)èh'(x) = f'(x) ± g'(x)

1. Aturan hasil kali

h(x) = f(x)g(x) è h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

1. Aturan hasil bagi

h(x) =  èh'(x)=

1. Aturan fungsi eksponensial

f(x) =

f(x) = è f'(x) =